原创《立体几何二面角问题公式解法探究》：这是一篇与二面角论文范文相关的免费优秀学术论文范文资料,为你的论文写作提供参考。
[摘 要]立体几何的二面角问题一直都是高中数学教学和考试的重点和难点,试题的解法具有独特性、针对性.一种求二面角的方法——公式法,在所有涉及三面角的题目中,能用上此种方法的题占80%以上.
[关键词]立体几何二面角公式法
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）110001
立体几何中的二面角问题是高考的热点,自然是高考复习的重点,这类题的常规解法有两种：定义法和向量法.本文试图再添一法——公式法.
一、公式法的应用
为行文方便,约定：三棱锥的一个侧面三角形中,顶点和棱锥的顶点公共的角称为这个侧面的顶点角；有两个侧面互相垂直的三棱锥称为直侧面三棱锥；互相垂直的两个侧面称为直侧面；和两个直侧面都斜交的另一侧面称为斜侧面.
图1如图1,三棱锥O—ABC中,AB⊥OA,AC⊥OA,∠BAC是二面角B—OA—C的平面角,记为α.棱OA所对的顶点角∠BOC记为θ,和OA相邻的顶点角∠BOA和∠COA分别为θ1和θ2.
设OA等于a,OB等于b,OC等于c,AB等于m,AC等于n.
在△ABC和△BOC中,利用余弦定理有
m2+n2-2mncosα等于BC2等于b2+c2-2bccosθ-2mncosα等于b2-m2-n2+c2-2bccosθ等于a2+a2-2bccosθcosα等于bccosθ-a2mn等于cosθ-ab·acmb·nc.（ab等于cosθ1,ac等于cosθ2,mb等于sinθ1,nc等于sinθ2）
结果求得二面角大小的一般式公式：
cosα等于cosθ-cosθ1cosθ2sinθ1sinθ2.
图2又如图2,三棱锥M—NPQ中,侧面MPN⊥侧面MPQ,QP⊥MP,PN⊥MN,则根据三垂线定理知∠PNQ是二面角P-MN-Q的平面角,记为α.棱MN所对的直侧面的顶点角记为θ,和棱MN相邻的另一直侧面的顶点角记为θ1,斜侧面的顶点角记为θ2.
∵∠MNP等于∠MNQ等于∠MPQ等于∠NPQ等于90°,
∴tanα等于PQNP等于MP·tanθMP·sinθ1,得公式（一）tanα等于tanθsinθ1；
sinα等于PQNQ等于MQ·sinθMQ·sinθ2,得公式（二）sinα等于sinθsinθ2；
cosα等于NPNQ等于MN·tanθ1MN·tanθ2,得公式（三）cosα等于tanθ1tanθ2.
公式（一）（二）（三）统称为求二面角大小的直面式公式.
把一个二面角看成一个三棱锥的两个侧面组成的角,用这个三棱锥的三个或其中的两个侧面的顶点角来计算这个二面角的大小是本文公式的本质特征.这个三棱锥称为这个二面角的相关三棱锥.
笔者查看近五年全国各省高考数学试题发现,在所有涉及二面角的题目中,能用上直面式公式的题占80%以上,其中能用上公式（一）的最多.
下面以历年高考真题为例来说明本公式的应用.
图3【例1】（2014·浙江·20,15分）如图3,在四棱锥A—BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE等于∠BED等于90°,AB等于CD等于2,DE等于BE等于1,AC等于2.
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角B—AD—E的大小.
解：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中,
由DE等于BE等于1,DC等于2,得BD等于BC等于2,
又AC等于2,AB等于2,得AC2+BC2等于AB2,即得AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE,∴AC⊥平面BCDE.
∴AC⊥DE.
又DE⊥DC,AC∩DC等于C,∴DE⊥平面ACD.
（Ⅱ）分析：观察三棱锥D—ABE,易知棱DA所对的∠EDB等于45°,由已知DE等于BE,DE⊥BE,和棱DA相邻的∠EDA等于90°,由（Ⅰ）知ED⊥平面ACD,∴ED⊥DA,和DA相邻的另一个∠BDA所在的△ABD是直角三角形,这可从三边长BD、DA、AB检验勾股定理得到,也可由（Ⅰ）知DB⊥BC,DB⊥AC,得DB⊥平面ABC,∴DB⊥AB.△ABD的三边长易得,相关的三个角的正、余弦值可写,从而思路打通.
解：（Ⅱ）以D为顶点,设∠EDB等于θ,∵DE⊥EB,DE等于EB,∴θ等于45°.
设∠EDA等于θ1,∵ED⊥平面ACD,∴ED⊥AD,θ1等于90°.
设∠BDA等于θ2,由（Ⅰ）知AC⊥DC,∴AD等于DC2+AC2等于6,∴BD2+AB2等于AD2,即BD⊥AB,∴cosθ2等于DBAD等于13,∴sinθ2等于23.
设所求的二面角为α,
代入公式,得cosα等于cosθ-cosθ1cosθ2sinθ1sinθ2等于22-01×23等于32.
∴α等于π6,故二面角B—AD—E的大小为π6.
图4【例2】（2012·全国新课标·19,12分）如图4,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC等于BC等于12AA1,D是棱柱AA1的中点,DC1⊥BD.
（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小.
解：（Ⅰ）证明：由题设知,直棱柱的侧面为矩形.
设AC等于BC等于1,则AA1等于2,A1C1等于B1C1等于1,CC1等于BB1等于2.
∵D为AA1的中点,
∴DC等于DC1等于2,可得DC21+DC2等于CC21,
∴DC1⊥DC.
又DC1⊥BD,DC∩BD等于D,∴DC1⊥平面BCD.
∵BC平面BCD,故DC1⊥BC.
二面角论文参考资料：
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