关于欧拉求和函数论文范文资料 与关于欧拉求和函数的微分与应用有关论文参考文献

《关于欧拉求和函数的微分与应用》：这是一篇与欧拉求和函数论文范文相关的免费优秀学术论文范文资料,为你的论文写作提供参考。

摘 要：针对文献［1］中的一些重要结论,在Hurwitz zeta函数部分和的积分渐进公式研究的基础上,研究了欧拉求和函数的推广的微分问题.采用解析数论中函数和级数的积分方法,对于Hurwitz zeta函数部分和进行微分,得出了欧拉求和函数推广公式的一阶和二阶微分公式,即定理1和定理2,将其结论进行应用,推出了关于级数和积分的五个恒等式,即推论1、推论2和推论3.

关键词：欧拉求和；级数；微分；Zeta-函数.

中图分类号：O156.4 文献标识码：A 文章编号：1672-1098(2011)01-0013-04

Differential of Euler Summation Function and Its Application

LI You-cheng

(Department of Normal Education, Weinan Vocational Technical College, Weinan Shaanxi, 714000, China)

Abstract:Aiming at some important conclusions in reference［1］, differential of Euler summation function promotion was studied based on Hurwitz Zeta function partial sum and integral asymptotic formula. By using integral method of function and series in analytic number theory, partial sum of Hurwitz zeta function was differentiated, and the first and second order differential formula of Euler summation function promotion formula, namely Theorem 1 and Theorem 2 were obtained. The conclusions were applied to educe five identities of series and integral, that is Corollary 1, Corollary 2 and Corollary 3.

Key words:Euler summation; series; differential; Zeta-function

在文献［1］中,研究了Zeta函数及其相关函数的一些积分渐近公式,得出了有研究价值的恒等式和积分公式,这些公式主要通过解析数论中Zeta函数的应用得出的,方法很麻烦.文献［2-7］研究了Hurwitz zeta函数部分和的积分渐进公式,估计了文献［1］中一些重要结论.文献［8］给出了欧拉求和函数的推广公式Lu(x,a)等于∑0≤n＜x(n+a)u, 本文以这个结论作为命题, 得出了欧拉求和函数推广公式的一阶和二阶微分公式kukLu(x,a)等于

∑0≤n≤x(n+a)ulogk(n+a),k等于1,2

利用这个结论直接得出文献［1］中许多重要结论.

1 命题

设Lu(x,a)等于∑0≤n≤x(n+a)u, 其中u,a是复变量,在Re(u)<0, n≠-a下,对于任意l∈N (l>Re(u)+1)和任意 x≥0有

Lu(x,a)等于∑lr等于1Γ(u+1)Γ(u+2-r)(-1)rr！ B— r(x)(x+a)u-r+1+

(-1)ll！Γ(u+1)Γ(u+1-l)∫∞x l(t)(t+a)u-ldt+

1u+1(x+a)u+1+ζ(-u,a) u≠-1log(x+a)-ψ(a) u等于-1(1)

其中Γ(s)表示γ函数,ψ(a)表示高斯双γ函数:

ψ(a)等于Γ′(a)Γ(a)(2)

Lu(x,a)等于∑lr等于1(-1)rrur-1r(x)(x+a)u-r+1+O(xRe(u)-l)+

1u+1(x+a)u+1+ζ(-u,a)u≠-1log(x+a)-ψ(a)u等于-1(3)

当x→∞, 进一步在式(1)中x等于0,对于u≠-1,l为任意自然数, 满足 l>Re(u)+1. 积分表示

ζ(-u,a)等于au-1u+1au+1-∑lr等于1(-1)rrur-1Brau-r+1+

(-1)l+1ul∫∞0l(t)(t+a)u-ldt(4)

在以下的定理中,假设l>Re(u)+1.

2 定理及其证明

对于命题进行应用,得到下面两个重要定理.

定理1 对于任意复数u和a>0,有

dduLu(x,a)等于Mu(x,a)等于∑0≤n≤x(n+a)ulog(n+a)等于

∑lr等于1(-1)rr！r(x)(x+a)u-r+1

｛Γ(u+1)Γ(u+2-r)［ψ(u+1)-ψ(u+2-r)+

Γ(u+1)Γ(u+2-r)log(x+a)］｝+

(-1)ll！∫∞xl(t)(t+a)u-l｛Γ(u+1)Γ(u+1-l)［ψ(u+1)-ψ(u+1-l)］+Γ(u+1)Γ(u+1-l)log(t+a)｝+

1u+1(x+a)u+1log(x+a)-1(u+1)2(x+a)u+1-ζ′(-u,a) u≠-1

12｛log(x+a)｝2+γ1(a) u等于-1(5)

其中 γ1(a)等于-12log2a-∑lr等于1Brra-r(ψ(1)-ψ(r)+log(x+a)+log(x+a))-

∫∞0l(t)(t+a)-l-1(log(1+a)+ψ(1)-ψ(l+1))dt

当 u等于-1时,ψ(u+1)-ψ(u+2-r)等于-∑lk等于11k等于ψ(1)-ψ(l+1),

Γ(u+1)Γ(u+2-r)等于-1r-1(r-1)！,

Γ(u+1)Γ(u+1-l)等于-1ll！.

定理2 对于任意复数u和a>0,有

d2du2Lu(x,a)等于∑lr等于1(-1)rr！r(x)(x+a)u-r+1Γ(u+1)Γ(u+2-r)((ψ(u+1)-ψ(u+2-r)+log(x+a))2+

ψ′(u+1)-ψ′(u+2-r))+(-1)ll！∫∞xl(t)(t+a)u-lΓ(u+1)Γ(u+1-l)((ψ(u+1)-ψ(u+1-l)+

log(t+a))2+ψ′(u+1)-ψ′(u+1)-l)dt+

(x+a)u+1u+1log2(x+a)-2(x+a)u+1(u+1)2log(x+a)-

2(x+a)u+1(u+1)2log(x+a)

欧拉求和函数论文参考资料：

罗密欧和朱丽叶论文

结论：关于欧拉求和函数的微分与应用为关于欧拉求和函数方面的的相关大学硕士和相关本科毕业论文以及相关欧拉求和函数论文开题报告范文和职称论文写作参考文献资料下载。