原创《复数概念其运算》：本论文为您写复数概念毕业论文范文和职称论文提供相关论文参考文献，可免费下载。
复数的概念
1. 对于复数,当且仅当时,复数是实数；当时,复数叫作虚数；当且时,叫作纯虚数；当且仅当时,. 两个复数中有一个为虚数时,这两个复数不能比较大小.
2. 两个复数的实部和虚部分别相等,则这两个复数相等. 这就是说,如果,那么.
例1 在下列命题中,正确命题的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
②若是纯虚数,则实数；
③是虚数的一个充要条件是；
④若是两个相等的实数,则是纯虚数；
⑤的一个充要条件是；
⑥等于1的充要条件是.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析 复数为实数时,可以比较大小,①错误；当时,,②错误；为实数时,也有,③错误；当时,,④错误；⑤⑥正确.
答案 B
例2 计算： （表示虚数单位）.
解析 ∵当时,,
.
.
答案 96+i
例3 关于的方程有实根,求实数的取值范围.
错解 ∵方程有实根,
.
解得,,或.
分析 判别式只能用来判定实系数一元二次方程的根的情况,而该方程中和并非实数.
正解 设是其实根,代入原方程变形为,由复数相等的定义得, 解得,.
复数的几何意义
复数和复平面上的有序实数对一一对应,和复平面上的向量也一一对应.
例4 复数（,i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析 由已知得,
.
若在复平面对应的点在第一象限,则
而此不等式组无解,即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.
答案 A
例5 已知复数的模为,则的最大值为_______.
解析 ,
.
故在以为圆心,为半径的圆上；而表示圆上的点和原点连线的斜率.
如图,由平面几何知识知,的最大值为.
答案
例6 已知复数满足,求的最大值和最小值.
解析 设,
则满足椭圆方程.
.
又,故当,时,；当时,.
点评 （1）的几何意义表示点到点的距离；（2）中所对应的点为以复数所对应的点为圆心,半径为的圆上的点.
复数的四则运算
1. 复数的加法运算满足交换律、结合律,复数的乘法运算满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律. 复数运算的核心思想是复数问题实数化,即i满足实数的运算律.
2. 复数加减法的几何意义分别对应向量加减法的平行四边形法則、三角形法则,和向量加减法的区别是复数加减法对应的向量起点都在坐标原点.
3. 复数和其共轭复数在复平面上对应的点关于实轴对称.
例7 计算：.
解析 原式
.
点评 复数运算的几个常用技巧：
（1）（）；
（2）；
（3）时,,.
例8 已知复数,满足,,证明：.
解析 设复数,在复平面上对应的点为,,由知,以,为邻边的平行四边形为矩形,.
设, ,
则由向量和向量垂直知,.
,
故.
点评 （1）设（）的共轭复数为,则；.
（2）为实数.
（3）为纯虚数.
例9 对任意一个非零复数,定义集合.
（1）设是方程的一个根,试用列举法表示集合. 若在中任取两个数,求其和为零的概率；
（2）若集合中只有3个元素,试写出满足条件的一个值,并说明理由.
解析 （1）∵是方程的根,
∴,或.
不论,或,
都有,
于是.
（2）取,则,及.
于是. （也可取.）
复数的综合运用
复数和不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合运算,往往和复数的模相关. 利用复数的概念将复数问题转化为实数问题是基本方向,利用复数的性质可以优化解题过程.
例10 设是虚数,是实数,且.
（1）求的值及的实部的取值范围；
（2）设,求证：为纯虚数；
（3）求的最小值.
解析 （1）设,,,
则,
因为是实数,,所以,即.
于是,,.
所以的实部的取值范围是.
（2）.
因为,,所以为纯虚数.
（3）
.
因为,所以.
故.
当,即时,取得最小值1.
例11 设复数,满足,其中,求的值.
解析
,
把代入上式得,
.
点评 （1）,,,特别地有,；
（2）,,
,,
.
例12 已知复数满足（i为虚数单位）,复数,试确定一个以为根的实系数一元二次方程.
解析 方法一：由题意得,,
则,.
若实系数一元二次方程有虚根,
则必有共轭虚根,即..
故所求的一个一元二次方程可以是.
方法二：设,
则,
即.
∴,以下解法同方法一.
点评 实系数一元二次方程的虚根成对出现,这两个根互为共轭复数.
复数概念论文参考资料：
结论：复数概念其运算为适合复数概念论文写作的大学硕士及相关本科毕业论文，相关共轭复数概念开题报告范文和学术职称论文参考文献下载。
