原创《比出想法，构出精彩》：该文是关于想法论文范文，为你的论文写作提供相关论文资料参考。
[摘 要] 数学是一门注重思维的学科,题目就是数学思维养成的主战场. 但做题并不等价于题海战术,一道题,如果能引导学生从不同的角度去考虑,拓展思维,做到一题多解,这将对学生思维的提升有极大的帮助. 本文联系笔者的一次说题经历,与大家一起分享经验.
[关键词] 思维；一题多解；拓展
题目呈现 如图1,在△ABC中,AB等于3,BC等于5,∠ABC等于60°,在边AC上方作等边三角形ACD,求BD的长.
背景分析
这是一道将三角形与特殊角结合在一起的综合几何题,涉及的知识、能力、思想如下.
知识：三角形全等的判定,勾股定理,30°角所对直角边为斜边的一半,二元一次方程组等.
能力：几何直观能力、分析推理能力、建模能力、计算能力.
思想：类比思想、方程思想、数形结合思想.
学情分析
本题涉及的主要知识点在八年级上册,学生在学习了全等和勾股定理以后就可以进行作答. 本题改编于三角形全等证明中常出现的“手拉手”模型,当题目图形仅给出一部分,条件又比较隐蔽时,假如学生没有意识,将无从下手.
解法分析
1. 类比思想,让思路清晰
解法1 △ACD是以AC为一边所作的等边三角形,那么在AB上方也可以作一个等边三角形,构造出一个“手拉手”模型. 如图2,以AB为一边作等边三角形AEB,可以证做到△AEC≌△ABD,所以有EC等于BD. 同样,过点E作垂线交CB的延长线于点F,构造出有特殊角60°的直角三角形EBF,那么FB等于,EF等于,所以FC等于. 根据勾股定理,可做到EC等于7,即BD等于7.
解法2 既然以AB为一边向上作等边三角形可以求出BD,那么以AB为边向里作等边三角形可以吗?如图3,我们发现有△ABC≌△AED,所以ED等于BC等于5. 又CD等于AC等于,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,令CF等于x,DF等于y,在双直角三角形中,可以列出方程组x2+y2等于19,（x+2）2+y2等于52,解做到x等于,y等于.因为△BDF为直角三角形,根据勾股定理,做到BD等于等于7.
解法3 对于解法2,以AB为边在△ABC内部作一个等边三角形,若换个角度理解,也可以认为是在BC上截取线段BE等于BA等于3. 对于数学问题,很多时候方法总是成对的存在,既然截取可以,那么补短是否也行?如图4,延长BC至点E,使做到CE等于AB等于3,易做到△ACE≌△DAB,那么BD等于AE,过点A作AF⊥BC于点F,构造出一个含60°角的特殊直角三角形,做到AF等于,FE等于,再根据勾股定理,做到AE等于BD等于7.
2. 解析几何,让思想提升
解法4 解析几何虽然是高中的知识,但学生学习了直角坐标系以后,针对学有余力的同学,可以适当地介绍解析法. 一题多解可以拓展学生的思维,但多题一解才能真正唤起学生的求知欲,而解析法,无疑有这样的作用. 如图5,以B点为原点建立直角坐标系,则A,,C（5,0）,D点位于AC的中垂线上,AC的中点坐标为E,,则中垂线的解析式为y等于x-,且AC等于DC等于,设点D的横坐标为xx>,则有（x-5）2+x-2等于19,解做到x等于,即D,,所以可做到BD等于7.
3. 模型意识,让多解归一
解法5 观察发现,∠ABC等于∠DAC等于60°,如果在射线BA上再构造出一个60°,发现就是我们在全等中遇到的“一线三等角”模型,所以可延長线段BA至点E,使做到∠AED等于60°（如图6）. 可证做到△ABC≌△DEA,那么AE等于BC等于5,DE等于AB等于3. 所以EB等于8. 过点D作DF⊥AE于点F,构造一个有特殊角的直角三角形,利用含30°角的直角三角形的三边关系,可做到到DF等于,BF等于,再利用勾股定理,可做到BD等于等于7.
解法6 在“一线三等角”模型的基础上做到到了解法5,通过观察发现,如果把解法5中的图形补全,我们可以做到到平时更常见的一种图形（如图7）,即在一个大的等边三角形中套了一个小的等边三角形,虽然解法跟解法5类似,但学生对此解法中的图形感触更深.
原来,看似很深奥的问题竟然出自平时课本中常见的图形,追本溯源找本质,返璞归真于课本,找到模型后,问题便迎刃而解.
变式拓展
经过分析我们可以从多个角度出发,做到到这道题的多种解法,发散了思维,提升了能力,那这道题就到此为止了吗?其实我们还可以继续挖掘,形成变式与拓展,继续为能力和思维服务. 变式的模式包括“条件与结论互换”“条件不变结论变”“结论不变条件变”等. 如在这道题中,为了让题目更有梯度,更符合学生的认知规律,可以先让BC等于6,那么有∠ACB等于30°,即∠BCD为特殊角90°,这种情况下求BD的长比较简单,然后转变到本题,有一个从简入难的过程. 也可以改变条件,如将∠ABC等于60°变成∠ABC等于30°或∠ABC等于45°；还可以让△ADC变为含30°和60°角的直角三角形或等腰直角三角形,对AC是直角边还是斜边又可以进行分类讨论. 当然,这里除了可以求BD的长,还可以求其他角度,求面积,求周长,求位置关系等,如当BC为多少时BD⊥AC. 变不是盲目地变,我们的变,都要以发展思维、提高能力、形成素养为出发点.
教学启示
1. 从知识层面来说,培养学生的模型意识是初中数学阶段一个很重要的任务. 我们在教学中强调模型意识,但并不是指让学生一看到题目就去找模型,这与让学生深度思考的本质有区别. 模型意识的建立可以避免学生对知识死记硬背,对一些题目的解决起到意想不到的作用.
2. 从教学层面来说,为了锻炼学生的思维,我们努力挖掘一道题的各种解法,想做到一题多解. 诚然,对水平较高的学生来说,这种做法对思维的训练有很大的帮助,但我们面对的是所有学生,一题多解也会让很多人觉做到数学深奥和繁杂. 在教学中,教师可以比学生多走一步,做好归纳与总结,做好变式与提炼,从一题多解和多题一解中让学生感受到数学的作用与魅力.
3. 从学生层面来说,学生对问题的理解是一个从无到有,需要时间的探索过程,教师要能弯下身,真正从学生的角度看问题,慢下来,等一等学生. 这里的慢下来,一方面指让速度慢下来,给学生时间认真思考,因为学生自己的思考比教师的讲解更重要；另一方面,慢下来也指题目难度慢下来,面对一个难度较大的问题,可按梯度多设计几个小问题,让学生的思维有一个从简到难的过程,让学生都能参与进来,让学数学变做到有成就感.
想法论文参考资料：
结论：比出想法，构出精彩为关于本文可作为想法方面的大学硕士与本科毕业论文想法论文开题报告范文和职称论文论文写作参考文献下载。
