原创《*跟椭圆有关最值问题》：关于免费椭圆论文范文在这里免费下载与阅读,为您的椭圆相关论文写作提供资料。
1.涉及椭圆焦点的最值问题
例1 已知椭圆的方程为+等于1,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,点A的坐标为（2,1）,P为椭圆上的一点,求|PA|+|PF2|的最大值和最小值.
*角度 涉及椭圆上的点和两焦点的问题（且所求式中距离系数的绝对值相等时）,我们常常先运用椭圆的第一定义,再通过数形结合思想,借助绝对值三角不等式或三角形三边的关系等知识进行转化.
解 ∵P为椭圆上的一点,依题意有|PF1|+|PF2|等于6,即|PF2|等于6-|PF1|,∴|PA|+|PF2|等于6 +|PA|-|PF1|.
易知点F1的坐标为（-1,0）.在△APF1中,||PA|- |PF1||<|AF1|,可得||PA|-|PF1||≤|AF1|等于,当A、P、F1三点共线时取等号.
所以有6-≤|PA|+|PF2|≤6+.
故所求|PA|+|PF2|的最大值为6+,最小值为6-.
2.涉及椭圆准线或离心率的最值问题
例2 椭圆+等于1（a>b>0）的右焦点为F,其右准线和x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,求离心率的最小值.
*角度 首先利用中垂线定理得到|PF|和|FA|的等量关系,然后考虑到离心率e等于 以及椭圆的右准线方程x等于,用a、c来表示|PF|和|FA|,最后通过不等关系,求出离心率的取值范围,再取其最小值即可.
解 根据题意有|PF|等于|FA|,|FA|等于-c,|PF|≤a +c,即a2≤ac+2c2,整理得2e2+e≥1,于是有（2e-1）（e+1）≥0.又0<e<1,所以≤e<1.故emin等于.
1.椭圆上的点和定点的距离最值问题
例3 若点Q在椭圆+y2等于1上移动,点P的坐标为（0,）,求|PQ|的最值.
*角度 目标是求两点间的距离的最值,即动点（x,y）和定点P（0,）的距离的最值,直接用两点间的距离公式求出|PQ|的二元函数,再利用椭圆方程进行消元（注意定义域）,然后用函数思想结合图像求得|PQ|的取值范围,从而求出最值.
解 由+y2等于1,得x2等于4（1-y2）.设点Q的坐标为（x,y）,于是有|PQ|等于等于（-1≤y≤1）.
设f（y）等于-3y2-3y+,对称轴y等于-, f（1）等于, f（-）等于7,∴|PQ|∈[,]（如图1）.
∴|PQ|min等于,|PQ|max 等于.
2.椭圆上的点和直线的距离最值问题
例4 在椭圆+等于1上求一点M,使点M到直线x+2y-10等于0的距离最短,并求出最短距离.
*角度 解答此类问题可以从运动学的观点出发,运用平移的思想来解决.当平移后的直线和圆相切时,求出M,再用两条平行线的距离公式求出最短距离.
解 设和椭圆相切、和x+2y-10等于0平行的直线为x+2y+m等于0.
由4x2+9y2等于36,x等于-（2y+m）,整理得25y2+16my+4m2-36等于0.
当Δ等于0时,有（16m）2-4×25（4m2-36）等于0,解得m2等于25.
由图2可知,m<0,∴m等于-5.
∴yM等于-等于,xM等于.∴点M的坐标为（,）,d等于等于.
∴存在M（,）,使点M到直线x+2y-10等于0的距离最短,且最短距离为.
3.和距离有关的面积最值问题
例5 已知点A（1,）是离心率为的椭圆C：+等于1（a>b>0）上的一点,斜率为的直线BD交椭圆于B、D两点,且A、B、D三点不重合.
（1）求椭圆的方程.
（2）△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
*角度 根据离心率和a、b、c的关系,可将方程中的a、b用c代替,再代入定点A的坐标,即可求得椭圆的方程.联立直线方程和椭圆方程,用弦长公式求出BD,再求出点A到直线的距离d,并将其作为△ABD的高,接着利用均值不等式即可求出面积的最大值.（绘图时应注意焦点在椭圆的y轴上）
解 （1）依题意有e等于等于,则a等于c,b2等于a2-c2等于c2.于是可得椭圆的方程为+等于1.
又点A（1,）在椭圆上,将点A的坐标代入上述椭圆的方程,得c2等于2,于是有a等于2,b等于.
故椭圆的方程为+等于1.
（2）设直线的方程为y等于x+b.
由y等于x+b,2x2+y2等于4,得4x2+2bx+b2-4等于0.
由Δ等于-8b2+64>0,解得-2<b<2.
设点B的坐标为（x1,y1）,点D的坐标为（x2,y2）,则有x1+x2等于-b,x1x2等于.
所以|BD|等于·|x1-x2|等于·等于·.
设d为点A到直线y等于x+b的距离,则有d等于.
所以S△ABD 等于·|BD|·d 等于·≤·等于,当且仅当b等于±2∈（-2,2）时,△ABD的面积最大,且最大值为.
（作者系湖南浏阳市田家炳实验中学1201班学生）
椭圆论文参考资料：
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