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数学教学的有效性如何提升?笔者认为有效的教学必定是强化训练和注重思维的教学,尤其是程序性知识的教学更应该注重学生探究过程环节中学生的思维和解题习惯养成.本文就该话题谈几点笔者的看法,望能有助于教学实践.

一、以问题为载体,培养学生自主分析、探究的习惯

学习离不开情境,对于高中数学亦不能外,数学教学中的问题情境创设,是指教师以具体的情境为载体,将数学问题转化为学生熟悉的生活情境或者具体生动、形象化的情境.这样能够启发学生从具体的生活情境去发现和提出数学问题、分析和解决数学问题.在学生参和到问题情境的过程中,一方面建构抽象数学知识的直观感知形式,另一方面建构知识的意义连接.高中数学老师要将问题情景创设贯穿于数学学习的整个过程中,通过这些精心设置的问题,激发学生学习数学的兴趣,引导学生探究,培养学生发散思维,促进学生综合能力的发展,提高高中数学的教学质量.

例如：用细胞分裂问题引入指数的概念；利用三、四位同学排队的方法数来引入排列的概念；对于集合概念的理解,可以用夕阳西下,牧羊人把羊群赶进羊圈并关好门,用渔船上渔夫打鱼,一网撒下去,捞上一网鱼等来帮助学生理解,以圈门和渔网来强调学生集合书写时的要求及规范,这样更容易被学生欣然接受；在讲解直线截距的概念和零点的概念时,不少同学会误认为截距就是距离,是大于或等于零的数,误认为零点就是点,应该写成坐标的形式,为了帮助学生区分概念理解概念,可以借助生活中的一些事物问他们,如：大家喜欢吃的热狗是狗吗?学生会哄堂大笑,说热狗非狗.然后让他们想想生活中还有哪些类似的事物呢?他们会想到田鸡非鸡,海马非马等.通过联系生活中的一些现象和事物来帮助学生对一些概念的理解,不仅加深了他们对概念的理解和把握,更提高了他们学习的兴趣和热情.

一、注重思维可视化教学

我国著名数学家华罗庚曾经说过,“数缺形时少直观,形缺数时难入微”.我们的数学教学应该化无形为有形,注重思维可视化教学.

例如,函数的性质是在想象中存在的,它在具体现实世界中并不存在.那么如何让学生深刻地理解函数的性质,我们还必须从具体的函数来帮助学生理解.譬如利用一次函数的图象,由具体两点的横坐标大小来观察函数值的大小,再由三点、四点等推广到任意点,继而说明函数的单调性在其图象中反映出来具有上升或下降的趋势.其实学生所熟知的且最能让学生理解函数单调性的函数应该是反比例函数y等于1/x.在反比例函数y等于1/x的图象上取任意小于0的两个实数或大于0的两个实数来说明反比例函数符合函数单调递减的性质,然后例举一个大于0和一个小于0的实数来促使学生思考为什么会出现“x1<0

学习是循序渐进、拾级而上的过程,我们在课堂教学设置问题或例题时,必须注重问题呈现的层次性.

例1判断下列各直线l和圆C的位置关系：

（1） l∶4x+3y等于0,C∶x2+y2等于36；

（2） l∶y等于-x+1,C∶x2+y2等于25；

（3） l∶4x-3y-8等于0,C∶x2+y2+2y等于0；

（4） l∶x-y-5等于0,C∶x2+y2-2x+4y+4等于0.

在（1）,（2）基础上,同学们很容易会利用代数方法进行判断,强化训练了代数方法.到了（3）,学生会发现,继续利用代数方法也没问题,但是有点繁琐.这时引导学生利用几何方法,将圆C整理成标准方程x2+（y+1）2等于1,得到圆心为（0,-1）,半径为1,求（0,-1）到直线l的距离d等于|4×0-3×（-1）-8|42+（-3）2等于1等于r,从而得到位置关系为相切,自然地把几何方法做了描述和训练.（4）在（3）的基础上继续强化几何方法,并达到熟练的目的.

三、变式追问促进学生思维深化

美国著名数学家波利亚说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目,去帮助学生挖掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域.”由此可见,在教学中,通过设置变式的方法,对一个问题进行适当变通和延伸,这样既可以扩大学生的视野,深化学生的思维,又能激发学生的探索欲,使学生形成完整的知识体系,而不是分散的知识点.

例如,求三角函数的单调区间,有如下一个问题.

例2求函数y等于sin（12x+π6）的单调递增区间.

变式1求函数y等于sin（π6-12x）的单调递增区间；

变式2求函数y等于-sin（12x+π6）,x∈[-2π,2π]的单调递增区间.

在学习了函数y等于Asin（ωx+φ）（A>0,ω>0）的图象和性质后,布置给学生练习,大部分的学生都能解决前两个问题,第一个答案是[4kπ-4π3,

4kπ+2π3]（k∈Z）,变式一的答案是[4kπ-2π3,

4kπ+4π3]（k∈Z）,学生们都认为这两个题目很简单啊,直接代入正弦函数的单调增区间求解不就可以了吗.

在这个时候要及时引导和追问：

追问1：函数y等于sin（12x+π6）和y等于sin（π6-12x）的单调递增区间的求法相同吗?单调性怎么样?

追问2：刚才的两个解答,都是正确的吗?为什么?

追问3：为什么在直接用函数y等于Asin（ωx+φ）（A>0,ω>0）的单调性时要强调A>0,ω>0呢?当A<0或ω<0时怎么办?

这样,大部分同学就能想到把变式1化为A>0,ω>0,即我们要来求y等于-sin（12x-π6）的单调增区间,可以把它看做一个复合函数,要求它的单调增区间,也就是求y等于sin（12x-π6）的单调减区间,即[4kπ+4π3,