原创《深入数学本质感悟数学精神》：此文是一篇本质论文范文,为你的毕业论文写作提供有价值的参考。
文献[1]中,许晓天老师对数学归纳法进行了系统研究,并在听课、评课的基础之上对数学归纳法进行了理性思考.笔者欣赏之余亦发现文献[1]中存在着三个“忽视”,而这三个“忽视”的内容恰是揭示数学归纳法本质的重要支撑点,是学生发现、认识、理解数学归纳法必须要经历的阶段,笔者借此机会把这三个“忽视”给予补充,供同行参阅.
1第一个忽视——如何确定第一步中n的起始值
文献[2]把数学归纳法分成2课时,例题的个数达到5个,包含了和正整数有关的恒等式、数的整除性、数列的通项及前n项的和等问题,但没有涉及不等式的证明问题.对于数学归纳法的教学,在文献[3]中明确指出：要把重点放在第二步上,其关键在于让学生弄清“归纳假设”是什么（即当n等于k时,命题是什么）,要证明的又是什么（即当n等于k+1时,命题是什么）.在此教学建议下,第二步成为了课堂上讨论、研究的核心.笔者认为,这样的教学处理,虽对学生的做题有帮助,但却不利于学生理解数学归纳法本质.文献[1]虽然对第一步做了理性的思考,并概括为“一个足够,多了没用”,但是仍然没有揭示数学归纳法第一步的本质问题.下面笔者结合文献[2]中的一道纠错题给出说明.
题目设n∈N*,求证：2n>n2.
证明：①n等于1时,21>12,不等式显然成立.②假设当n等于k时不等式成立,即2k>k2,那么,当n等于k+1时,有2k+1等于2×2k等于2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1等于（k+1）2.这就是说,当n等于k+1时不等式也成立.根据①和②,可知对任何n∈N*不等式都成立.
请分析上述问题用数学归纳法证明过程中的错误.
错误剖析第二步证明有错.一般地,对自然数k,当k≥3时,k2≥2k+1才成立,即当k≥3时,第二步才能无限地运行下去.那么,如何来确定第一步中n的起始值呢?我们现在来规定多米诺骨牌一个新的游戏规则：从第三块骨牌开始,前一块倒下后一定能击倒下一块.在这样的规则要求下,如果要使所有的骨牌都倒下,只要做三件事：第一, 第一块骨牌（第二块骨牌未倒下）；第二, 第二块骨牌（第三块骨牌未倒下）；第三, 第三块骨牌（从第三块开始,前一块倒下后一定能击倒下一块）.即第二步能无限传递下去的基础是第三块骨牌倒下,也就是说第一步中起始值不一定是1,因此,起始值的选择要根据题目所给条件和第二步综合确定.需要特别指出的是,多米诺骨牌毕竟不是数学问题,重要的是通过直观化处理为学生提供了一种“数学化”（所谓数学化,是指通过一种组织和构建的活动,运用已有的知识和技能去发现未知的规律、关系和结构.简言之,数学地组织现实世界的过程就是数学化）思想,有利于帮助学生对第一步本质的认识.在此题目中,我们要找出n≥3时,不等式2n>n2成立的最小正整数.当n等于3时,2n
因此,在教学过程中,教师必须让学生经历起始值的讨论,因为这是数学归纳法第二步论证的基础.就像玩多米诺骨牌一样,在“前一块倒下后一定能击倒下一块”的游戏规则下,如果我们不 第一块骨牌,那么所有的骨牌能倒下吗?
下面再利用文献[4]中的一道题说明确定起始值的重要性：
例题用数学归纳法证明：（1+2+3+等+n）（1+12+13+等+1n）≥n2,其中n∈N*.
证明①n等于1时,不等式显然成立,n等于2时,不等式的左边等于（1+2）×（1+12）等于92,右边等于22等于4,不等式也成立.
②假设当n等于k（k≥2）时不等式成立,即（1+2+3+等+k）（1+12+13+等+1k）≥k2成立,则当n等于k+1时,有[1+2+3+等+k+（k+1）]1+12+13+等+1k+（1k+1）等于（1+2+3+等+k）（1+12+13+等+1k）+1+2+3+等+kk+1+（1+12+13+等+1k）（k+1）+1≥k2+k（k+1）2（k+1）+（1+12）（k+1）+1>k2+k2+3k2+1等于（k+1）2.这就是说,当n等于k+1时不等式也成立.根据①和②,可知对任何n∈N*不等式都成立.
说明本题结合不等关系1+12+13+等+1n≥1+12,n≥2来证明,但注意要将第一步的起点后移,即第一步中的起始值为2.因此,在第一步证明中,不仅要证明当n等于2时,不等式成立,还要说明当n等于1时不等式成立.
2第二个忽视——为什么在第二步的证明中要用“假设”两字
对于这个问题,想必有很多教师现在还无法进行清晰的解释.笔者认为：这一知识点是这节课最重要的难点之一,在数学归纳法起始课的教学中,教师应该让学生对此有一个清楚的认识,否则,学生只是掌握了数学归纳法的“形”,而没有真正掌握数学归纳法的“神”.
譬如,要使多米诺骨牌全部倒下需要两个条件,第一个条件：第一块骨牌倒下；第二个条件：若第k块骨牌倒下,则第k+1块骨牌也倒下.从实际教学看,第一个条件容易理解,第二个条件理解起来比较困难.如何解释呢?为了方便起见,记命题P（n）是和自然数n有关的命题.P（n）可以理解为是编了号的命题.第1号命题是P（1）,第2号命题是P（2）,等,第k号命题是P（k）,第k+1号命题是P（k+1）,等.第一步只是验证命题P（n）中的第1号命题P（1）成立.第二步实质上也是一个命题,即如果P（k）成立,则有P（k+1）成立.P（k）到底成立还是不成立,不是第二步的任务.第二步的任务是：假设P（k）成立；证明P（k+1）也成立.这就好像命题“如果0>1,那么1>2”是真命题,因为尽管0<1,但如果有0>1,则由不等式的性质有0+1>1+1,即1>2.至此,学生就会明白第二步中的命题P（k）和P（k+1）实质上断定的是一种关系,而不是对P（k）的断定.如果更形象一点说,第二步所断言的是有了一台功能特殊的“递推机”,该递推机的功能是：只要把原料P（k）递进去,那么该机便能输出P（k+1）这个产品.当然,有了递推机并不能保证一定有原料.现在就可结合第一步来看数学归纳法.第一步断言了P（1）为真,而第二步就是一台递推机,这样将P（1）作为初次原料送进递推机,它立即输出P（2）,有了P（2）就可以把它作为原料再次送入递推机,于是就有了P（3）,如此重复地运用递推机,就可相应地得到P（4）,P（5）,等,这样就看清楚了数学归纳法的“递推机”在有初始原料P（1）的情况下的“工作”原理,这里实质上也就是数学归纳法为什么能作为一个严密的证题方法的逻辑原理.因此应该让学生清楚：数学归纳法是一种演绎推理,是典型的三段论,而这种演绎推理又是为了归纳.数学归纳法和一般归纳法的根本区别在于,数学归纳法具有明确的论证意识,通过应用归纳步骤和传递步骤来确保论证的严密性和正确性.
本质论文参考资料：
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