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“你是我的小呀小苹果,怎么爱你都不嫌多等”
课本里有好多和圆有关的问题,这些问题就像一个个红红的小苹果,挂在课本这棵知识大树上,它们散发着浓郁的香味,让我们为之着迷,为之倾倒.如果我们不能发现它,那么就丧失了获取营养的宝贵机会,下面让我们以一道课本例题为引,来看看同学们都是怎么思考的.
一、课本例题
课本例题 如图1,在半圆形的钢板上截取一块矩形材料,怎样截取使这个矩形的面积最大?
面对这个问题,同学们会有些什么想法呢?毫无疑问,半圆的半径应该是定值R,怎么表示矩形ABCD的面积S呢?甲、乙两位同学给出了以下两种解法.
那么为什么这个问题设角θ为自变量比较简单呢?仔细研究可以发现,是因为点C在半圆上运动,引起了其他几个点的运动,从而矩形的形状也同时发生了改变.那么点C又是如何运动的呢?难道是无规则的布朗运动（化学中分子的无规则运动）?不是！它绕着圆心0作圆周运动,这样一来,我们自然而然就想到设圆心角∠BOC等于θ为自变量了.
二、课本习题
像例题那样,点在圆周（或圆弧）上运动的问题,我们一般都是选择一个角作为自变量,再看课本中的两道习题.
习题1 在一个圆的所有内接矩形中,怎样的矩形面积最大?
这个问题就是：矩形ABCD内接于半径为r的圆,当矩形为何形状时,矩形的面积最大.
方法2 如图3,连结AC.在（直径AC所分的）每一个半圆中,直角三角形斜边长2r一定,斜边AC上的高最大时,每一个直角三角形面积最大,矩形面积最大.在Rt△ABC中,过B作AC的垂线,垂足为H,当H和圆心0重合时,BH最大,Rt△ABC面积最大,此时矩形为正方形,其面积也最大.
方法3 如图4,设AB等于x,则AD等于
比较一下三种解法,你就不难发现设角为自变量的优势.
习题2 （此题也是人教版例题） 如图5,在半径为R、圆心角为60.的扇形AB弧上任取一点P,作扇形的内接矩形MNPQ,使点Q在OB上,点M,N在OA上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
你一定觉得习题1好做,甚至有三种方法,而习题2就不知怎么下手,甚至不会做.
通过习题1的解决总结出的解决问题的方法你注意到了吗?你关注的是如何更快地获得结果,而解决问题过程中所反映出来的方法在不经意间却流失掉了.
其实解决习题2和解决习题1的过程是一样的！这就是：
第1步：找出影响函数值变动的因素,选择自变量；
第2步：用含自变量的代数式表示函数式中要用的其他量；
第3步：建立目标函数,明确定义域；
第4步：求出最值,并指出相应的自变量的值；
第5步：答（回答实际问题的解决办法等）.
三、小试牛刀
像这样的“小苹果”也经常出现在各种试卷上,同学们,想到设角为自变量了吗?让我们“小试牛刀”！
试题1 （南京市2011届高三一模）如图1,在半径为30cm的半圆形（0为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A,B在直径上,点C,D在圆周上.（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积；（2）略,
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