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定积分背景源于曲边梯形面积的计算.其计算方法是,将它分割成许多小曲边梯形,每个小曲边梯形用相应的小矩形（或梯形）近似代替,把这些小矩形（或梯形）面积累加（求和）起来,就做到到曲边梯形的一个近似值,当分割无限变细时,这个近似值无限趋近于所要求的曲边梯形的面积.而数列是自变量取正整数集的一特殊函数.若对数列和不等式的条件、结构做仔细的观察,深入的剖析,联想到定积分定义,结合函数性质,借助图形,数列和不等式的证明便做到心应手,明了顺畅.
1两个结论
定积分的定义是一种过程性定义,意义深刻,内含丰富.定义中不仅蕴含着以直代曲,微元与极限,转化与化规,数形结合等思想方法,还蕴含着联系观、运动观、量变与质变等辩证思想；不仅有相等关系,也还蕴含着不等关系.
（1）若用小矩形面积的和逼近曲边梯形面积的过程中,当函数f（ x ）在已知区间上恒大于0,严格单调、连续且可积,那么矩形面积的和与其曲边梯形面积（函数f（ x ）在已知区间上的定积分）有不大就小的关系,这个大小关系又取决于在计算小矩形面积时竖边取的是该矩形的左端点或是右端点.
（2）若用小递形面积的和逼近曲边梯形面积的过程中,当函数（ ）f x在已知区间上恒大于0,严格凹（凸）,连续且可积,那么递形面积的和小于（大于）其曲边梯形面积（函数（ ）f x在已知区间上的定积分）.
3说明 用定积分定义解决以上高考题的过程中,每一个小曲边梯形的近似图形用矩形或是用梯形,每一个近似小矩形的竖边取左端点或是右端点的函数值来计算面积,不是一成不变,这取决于已知条件和所证不等式的结构,以简捷、明快、最优为目标.
数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学,数学的许多概念都是以“定义”形式出现的.因此,明确学习好定义,吃透定义是掌握概念的性质及相关公式,熟练解题的首要条件,非常重要,这也是教师激发学生学习兴趣,开发学生潜力,培养学生数学素养的重要环节之一.在数学教学中千万不能忽视数学定义的精细、深度学习.宁愿慢一步,不可抢一秒.只有这样才能从真正意义上品出其味道,研究、锤炼出思想及方法；只有这样才会为问题解决插上联想的翅膀；只有这样才会为后一步的学习奠定坚实基石,铺就平坦道路.
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