原创《例析格点图形背景下锐角三角函数》：该文是关于锐角三角函数论文范文，为你的论文写作提供相关论文资料参考。
问题 如图1,在网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、C都在格点上,则∠ABC的正切值是（ ）.
A. 2 B.
C. D.
【分析】本题是2015年山西省的一道中考试题,以格点为问题背景构造一个锐角,考查同学们对锐角三角函数概念的理解、掌握和灵活应用.由于题中给出了点A、点B和点C,因此先不考虑取其它点,而是利用现成的点,尝试连接AC,从图形的直观性上初步判断∠BAC可能是直角,再用勾股定理及其逆定理进行验证,最后根据正切的定义计算即可.
【解答】如图2,连接AC.
由勾股定理得：
AB2等于22+22等于8,AB等于2,
AC2等于12+12等于2,AC等于,
BC2等于12+32等于10,
∴AB2+AC2等于8+2等于10等于BC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠BAC等于90°,
∴tan∠ABC等于等于等于.
因此,本题应该选D.
【感悟】要求以格点为背景的锐角三角函数值,我们仍然要根据锐角三角函数的概念,使所求的锐角化归到直角三角形中加以解答.有的锐角可以直接放到一个直角三角形中,有的锐角需通过构造一个直角三角形,使其成为这个直角三角形的一个锐角,也有的锐角借助和其所在的三角形全等或相似的三角形进行转化,成为另一个直角三角形的一个锐角,再加以解答.现再举几例供大家学习、参考,以期同学们形成良好的解题策略.
例1 如图3,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】观察图3,可以发现∠AOB的一边OB恰好在这个正方形网格的网格线上,可直接过点A作OB的垂线AC,垂足为C,即可构造直角三角形（如图4）,因此,tan∠AOB等于等于.所以,本题应该选B.
【点评】本题中设置的∠AOB没有放到一个三角形中,解答时要能够抓住角的一边所在的特殊位置构造直角三角形,并应用正切概念求得结果.
例3 （2015·乐山）如图5,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】设图5中的小正方形的边长为1,因而这是一个5×5的正方形网格, 线段AC为其中3×3的正方形网格的对角线,设其过1×1的正方形网格的一个顶点D（如图6）,连接BD,则BD又是其中另一个1×1的正方形网格的对角线,所以∠BDC等于90°,则∠ADB等于90°,且AD等于2,AB等于,所以cosA等于等于.因此,本题应该选D.
【点评】本题中的∠A原来是在一个钝角三角形中,借助于网格和角的一边所在的特殊位置,将这个非直角三角形中的锐角进行巧妙构造,使其成为图形中一个直角三角形的锐角,最终求得结果.
例4 如图7,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′,则tanB′的值为（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】由题意知道：△AC′B′是△ACB绕着点A逆时针旋转得到的,根据图形旋转的性质,即可知道△AC′B′≌△ACB,所以∠B′等于∠B,从而把求tanB′的问题转化为在△ACB中求tanB.不妨过C点作CD⊥AB,垂足为D,即有tanB′等于tanB等于等于.因此,本题应该选B.
【点评】本题能够巧妙地应用图形的旋转性质,将一般图形中的待求角进行转化,转化为和网格具有密切联系的特殊位置的图形.
例5 如图8,△ABC的各个顶点都在正方形的格点上,则sinA的值为（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】设这个网格为4×4的正方形网格.乍一看,锐角∠A不在直角三角形中,且边AC、AB所在的位置都不是特殊的位置,仔细观察知道AC为1×2的矩形网格的对角线,则延长AC一定交2×4的矩形网格于点E,连接BE（如图9）,则AE等于2,BE等于,AB等于5,∴AE2+BE2等于AB2,∴△ABE是直角三角形,∴sinA等于等于,因此,本题应该选A.
【点评】本题解答是经历了构造以∠A为内角的直角三角形的过程,体现了根据图形位置特征进行探索,对构造图形是一个直角三角形作出猜想,进而应用勾股定理进行验证的思维过程.当然,本题还可以借助于图形中的△ADE∽△EFB来说明△ABE是直角三角形.亲爱的同学,你也想到了吗?可以尝试自己完成思路.
例6 如图10,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则tan∠APD的值是_______.
【解析】∠APD是AB、CD相交所成的锐角,且CD为1×1的正方形网格的对角线.为了使其成为直角三角形中的一个内角,不妨将CD适当平移使其成为另一个1×1的正方形网格的对角线BE（如图11）,从而将∠APD转化为∠ABE,在△ABE中,可以通过勾股定理得到∠AEB等于90°,所以tan∠APD等于tan∠ABE等于等于2.因此,本题应该填：2.
【点评】本题难点在于能够应用图形中隐含的线段平行的位置关系,使待求的角进行适当的转化,转化到直角三角形中加以解答.
小试身手
1. 正方形网格中,∠AOB如图12放置,则cos∠AOB的值为（ ）.
A. B.
C. D.
2. 如图13,方格纸中的每个小正方形都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在方格的格点上,则cosA等于_______.
参
1. B 2.
（作者单位：江苏省建湖县汇文实验初中教育集团汇文校区）
锐角三角函数论文参考资料：
结论：例析格点图形背景下锐角三角函数为关于对不知道怎么写锐角三角函数论文范文课题研究的大学硕士、相关本科毕业论文锐角三角函数值表论文开题报告范文和文献综述及职称论文的作为参考文献资料下载。
