原创《一个课本题根其变式探究》：本文是一篇关于课本题根论文范文，可作为相关选题参考,和写作参考文献。
人们都说木有本,水有源,题有根.要想脱离茫茫的题海,必须追根溯源.所谓题根,就是那些源于基础,又高于基础,提炼于解题实践,又能广泛应用于解题实践的结论、习题、例题、各类试题.在平时的解题训练中,若能重视题根及其变式的应用,总能达到举一反三、跳出题海并提高解题能力的功效.本文以课本中的一个著名题根为例,结合今年的高考题和模拟题谈谈它及其变式的应用,现分析如下.
1 课本题根及其应用
题根 （人教A版选修22教材第32页习题B组第1大题第3小题）利用函数的单调性,证明不等式ex>1+xx≠0.
分析 要证明不等式,常见的做法是作差或作商,然后通过构造函数,利用其最值证明不等式.结合此题,可用作差法.
证明 设f（x）等于1+x-ex,x∈-∞,+∞,则f′（x）等于1-ex,令f′（x）>0,得x<0,令f′（x）<0,得x>0.所以f（x）在-∞,0上单调递增,在0,+∞上单调递减.所以当x≠0时,f（x）x+1x≠0.
点评 本题难度虽不大,却是非常重要的不等式,在*中经常考查,其重要性不亚于课本中的重要定义、定理、性质.
例1 （2015年湖北卷第22题第1问）求函数f（x）等于1+x-ex的单调区间,并比较1+1nn和e的大小.
分析 利用本文的题根,并进行恰当赋值,即可得到所证不等式.
解析 f（x）的定义域为-∞,+∞,f′（x）等于1-ex,令f′（x）>0,得x<0,令f′（x）<0,得x>0.所以f（x）的单调递增区间为-∞,0,单调递减区间为0,+∞.当x>0时,f（x）点评 本题直接考查了课本的一个题根,体现出高考源于课本高于课本的原则.是课本题根的直接应用.
例2 （2015年广东卷）设a>1,函数f（x）等于（1+x2）ex-a.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：f（x）在-∞,+∞上仅有一个零点；
（Ⅲ）若曲线y等于f（x）在点P处的切线和x轴平行,且在点Mm,n处的切线和直线OP平行（O是坐标原点）,证明：m≤3a-2e-1.
分析 （Ⅰ）可利用导数研究函数的单调性.（Ⅱ）可利用函数零点存在定理,结合函数单调性使问题得到证明.（Ⅲ）利用导数的几何意义得出一个等式,结合所要证的结论并利用分析法,在进行等式代换后,可知最后只需证明的不等式即是本文所给出的题根.
解析 （Ⅰ）因为f′（x）等于2xex+（1+x2）ex等于（x+1）2ex,x∈R.因为对任意x∈R,都有f′（x）≥0,所以f（x）的单调递增区间为-∞,+∞,无单调递减区间；
（Ⅱ）证明 由（Ⅰ）知f（x）在-∞,+∞上单调递增,且f（0）等于1-a<0,fa-1=aea-1-a=aea-1-1.因为a>1,所以a-1>0,a-1>0,
所以ea-1>1,故ea-1-1>0,故fa-1>0,所以x0∈0,a-1,使得f（x0）等于0,又因为f（x）在-∞,+∞上单调递增,所以f（x）在-∞,+∞上仅有一个零点；
（Ⅲ）证明 f′（x）等于（x+1）2ex,令f′（x）等于0,解得x等于-1,所以点P-1,2e-a,所以kOP等于a-2e.又因为f（x）在点Mm,n处的切线和直线OP平行,所以f′（m）等于kOP,即（m+1）2em等于a-2e.而要证m≤3a-2e-1,只需证（m+1）3≤a-2e,
而（m+1）2em等于a-2e,只需证（m+1）3≤（m+1）2em,只需证m+1≤em.
构造函数h（x）等于ex-x-1,x∈R.所以h′（x）等于ex-1.令h′（x）>0,解得x>0,令h′（x）<0,解得x<0.所以h（x）在-∞,0上单调递减,在0,+∞单调递增,所以h（x）≥h（0）=0,所以ex≥x+1,所以m+1≤em,所以m≤3a-2e-1得证.
点评 本题以课本的一个题根为依托进行构建试题,考查了导数在研究函数中的应用和分析法.第三问较为隐蔽,若能利用分析法进行逆向思考,则能化难为易.
例3 （2015年陕西省高三教学质量检测试题二）设函数f（x）等于ex-ax-1.
（Ⅰ）若函数f（x）在R上单调递增,求a的取值范围；
（Ⅱ）当a>0时,设函数f（x）的最小值为g（a）,求证；g（a）≤0；
（Ⅲ）求证：对任意的正整数n,都有1n+1+2n+1+3n+1+等+nn+1<（n+1）n+1.
分析 （Ⅰ）利用等价转化变为恒成立问题.（Ⅱ）利用导数研究函数的最值.（Ⅲ）由题意得出课本题根,并进行恰当赋值,化为等比数列求和问题.
解析 （Ⅰ）由题意知f′（x）等于ex-a≥0对x∈R恒成立,且ex>0,故a的取值范围为a≤0.
（Ⅱ）由a>0,及f′（x）等于ex-a可得,函数f（x）在-∞,lna上单调递减,在lna,+∞上单调递增,故函数f（x）的最小值为g（a）等于flna等于elna-alna-1等于a-alna-1,则g′（a）等于-lna,故当a∈0,1时,g′（a）>0,当a∈1,+∞时,g′（a）<0,从而可知g（a）在0,1上单调递增,在1,+∞上单调递减,且g（1）=0,故g（a）≤0.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,当a等于1时,总有f（x）等于ex-x-1≥0,当且仅当x等于0时等号成立.故当x>0时,总有ex>x+1.于是可得x+1n+1 令x+1等于1n+1,即x等于-nn+1,可得1n+1n+1 课本题根论文参考资料： 结论：一个课本题根其变式探究为关于课本题根方面的的相关大学硕士和相关本科毕业论文以及相关高中课本题论文开题报告范文和职称论文写作参考文献资料下载。
